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擅用公式 巧解2015年湖北公务员考试数学运算植树问题

Tag: 湖北公务员公务员考试数学运算 2014-08-12    来源:湖北公务员考试网 字号: T | T | T 我要提问我要提问
  在公务员考试中,植树问题根据端点是否植树,只有分为三种类型,但是有5种变化,变化主要集中在两端均植树问题中。无论生活场景如何改变,同学只要牢牢把握这三种类型,就能轻松搞定植树问题及其变形。
植树问题
  植树问题是研究路程、间距长、间距数、棵数等数量关系的应用题,在日常生活和生产中常见的爬楼梯、锯木头、剪绳子、装路灯等问题中也有跟植树问题相同的数量关系。
  一、植树问题中的公式
  植树问题中最主要的公式是:路程长=间距数*间距长,但题干中一般不直接告诉你间距数,而是已知棵数,而植树情况不一样时,棵数跟间距数的关系不一样,因此,要分以下几种情况讨论,理清间距数跟棵数的关系,最关键是要把好“加1“”减1“的关。
  1、直线上植树:
  (1)直线上只有一端植树(比如道路只有一端植树),那:棵数=间距数;
  (2)直线两端都植树,那:棵数=间距数+1;
  (3)直线两端都不植数:棵数=间距数-1;
  2、封闭图形(比如环形、正方形等)上植树:等同于一端植树:棵数=间距数
  而与植树问题类似的问题,像“锯钢管、剪绳子”就等同于“直线上两端都不植树“,锯一次、剪一刀相当于植一棵树;“爬楼梯”就等同于“直线上两端植树”,一层楼相当于一个间距。解题时切记注意间距数跟棵数的关系。
  二、植树问题的关系
  关于植树问题,主要有以下几种关系:
  (1)若题目中要求在植树的路线两端都植树,则棵数比段数多1。即:棵数=段数+ 1 =全长+株距+ 1
  (2)如果题目中要求在路线的一端植树,则棵数与段数相等。即:棵数=段数=全长+株距
  (3)如果植树路线的两端都不植树,则棵数=段数-1。即:棵数=段数-1 =全长+株距-1
  三、植树问题解题应对办法
  植树问题是我们小时候经常算的应用题,不知道考生们是否还有印象,2015年湖北公务员考试提前复习教材编写组认为做这类题目还有一些另外的方法,以下是详细分析:
  1.植树问题的类型和应对公式
  形如:在一周长为100米的湖边种树,如果每隔5米种一棵,共要种多少棵树?这样在一条“路”上等距离植树就是植树问题。在植树问题中,“路”被分为等距离的几段,段数=总路长÷间距,总路长=间距×段数。
  根据植树路线的不同以及路的两端是否植树,段数与植树的棵数的关系式也不同,下面就从不封闭路线的植树和封闭路线植树来一一说明。
  (1)不封闭植树:指在不封闭的直线或曲线上植树,根据端点是否植树,还可细分为以下三种情况:
  ①两端都植树:两个端点都植树,树有6棵,段数为5段,即有植树的棵数=段数+1,结合段数=总路长÷间距,则:棵数=总路长÷间距+1,总路长=(棵数-1)×间距。
  ②两端都不植树:两个端点都不植树,可知植树的棵数=段数-1,结合段数=总路长÷间距,则:棵数=总路长÷间距-1,总路长=(棵树+1)×间距。
  ③只有一端植树:只有一个端点植树,可知植树的棵数=段数,结合段数=总路长÷间距,则:棵数=总路长÷间距,总路长=棵数×间距。
  (2)封闭植树:指在圆、正方形、长方形、闭合曲线等上面植树,因为头尾两端重合在一起,所以种树的棵数等于分成的段数。所以棵数=总路长÷间距,总路长=棵数×间距。
  为方便记忆,将植树问题的公式归纳如下表:
植树问题的公式
  2.两边植树问题
  除了在路的一边植树外,还有路的两边都植树的情况,这时就要先判断出植树类型,计算出一边植树的情况,再根据一边求两边情况。
  【例题】在一条长40米的大路两侧栽树,从起点到终点一共栽了22棵。已知相邻两棵树之间的距离都相等,问相邻两棵树之间的距离是多少米?
  A.3                 B.4                 C.6                 D.8
  解析:此题答案为B。根据“在路的两侧共栽22棵树”这个条件,我们可先求出一侧栽了22÷2=11棵树。起点和终点栽树,说明是两端都植树,满足棵数=段数+1,因此一共有11-1=10段,因此,间距=40÷10=4米。
  3.不同间隔植树问题
  在一些植树问题中,往往存在两种或多种植树方式。这种情况下,就会出现重复植树问题,常需要结合最小公倍数找出重合点。
  【例题2】某工地从一条直道的一端到另一端每隔3米打一个木桩,一共打了49个木桩。现在要改成4米打一个木桩,那么可以不拔出的木桩共有多少个?
  A.8                 B.9                 C.11                    D.13
  解析:此题答案为D。每隔3米打一木桩对应每隔3米植树,两端都打对应两端都植树,因此直道的总长=段数×间距=(棵数-1)×间距=(49-1)×3=144米。
  依题意,不拔出来的木桩距离起点的距离必须能被3和4整除,3和4的最小公倍数是12,即从起点开始每隔12米有一个木桩可以不拔出,144÷12=12,故有12+1=13根木桩不用拔出。
  4.植树问题变形
  在数学运算中还有一些变形题,如锯木头、走楼梯等实际问题,这些变形只是形式上的改变,其本质仍然是植树问题。在最近几年的行测考试中,植树问题往往以这种变形题出现。
  解决植树问题的变形题,要注意端点是否“植树”,分清“棵数”与“段数”之间是+1还是-1。
  常见的变形题:锯木头、爬楼梯、重合、队列问题均可视为两端都不植树问题,其中的知识要点如下:
  锯木头:要锯成n段,则需锯(n-1)次;
  爬楼梯:从1层到n层,需爬(n-1)段楼梯;若每爬完一段,休息一次,则需休息(n-2)次;
  重合问题:n段接在一起,重合的有n-1段;
  队列问题:有n个人(或n辆车),中间有n-1个空。

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